Por que dividir por zero é errado?

Vocês já devem ter ouvido alguém ou algum livro te falando para NUNCA dividir por zero e que se você dividir por zero coisas horríveis e bizarras podem acontecer, inclusive ouvir livros falando (Ok, podem ser audiolivros… MAS não vamos entrar nessa discussão!). Então o que há de tão horrível na divisão por zero?

Vamos lembrar das aulas no ensino fundamental em que aprendíamos a dividir assim:

Você tem 12 maçãs que vão ser divididas igualmente para outras 6 crianças. Com quantas maçãs cada criança deve ficar? Simples, você pensa. \mathbf{\frac{12}{6} = 2} .

E se forem quatro crianças? Fácil! \mathbf{\frac{12}{4} = 3}

Cinco crianças? \mathbf{\frac{12}{5} = 2,4} . É… Uma fração, mas a gente corta as maçãs e dá um jeito.

Mas e se forem zero crianças? Como assim? Como eu vou dar maçãs para crianças que não existem? Eu fico com todas as maçãs? Eu destruo elas no triturador e jogo pro alto? Essa pergunta faz algum sentido?

Vamos tentar resolver esse problema por outro ângulo, mas primeiro vamos deixar claro a noção de divisão que vai ser usada:

Se a vezes b é igual a c, então a é igual a c dividido por b.
E se a é igual a c dividido por b, então a vezes b é igual a c.

\mathbf{a \times b = c \implies a = \frac{c}{b}}
\mathbf{a = \frac{c}{b} \implies a \times b = c}
\mathbf{a \times b = c \iff a = \frac{c}{b}}

Usando os primeiros exemplos:

\mathbf{\frac{12}{6} = 2\iff 2 \times 6 = 12}
\mathbf{\frac{12}{4} = 3\iff 3 \times 4 = 12}
\mathbf{\frac{12}{5} = 2,4\iff 2,4 \times 5 = 12}

E agora usando o zero:

\mathbf{\frac{12}{0} = x\iff x \times 0 = 12}

Parece que temos um problema aqui. Temos que achar qual é o número que multiplicado por zero dá 12. Mas a multiplicação por zero sempre dá zero.

Ainda dá para ficar mais estranho. Digamos que a divisão por zero seja uma operação legítima e que a equação \mathbf{x \times 0 = 12} tenha \mathbf{x = \frac{12}{0}}  como resposta válida, teremos então:

\mathbf{x \times 0 = 12 \implies \frac{12}{0} \times 0 = 12} , multiplicando o 12 do numerador pelo 0 temos \mathbf{\frac{0}{0} = 12} , mas que diabos é \mathbf{ \frac{0}{0}} ? Se dividir por zero já confunde o suficiente, o que será que o zero dividido por zero, que é uma consequência da divisão por zero, pode gerar? Vamos fazer uma demonstração rápida:

\mathbf{1 \times 0 = 0 \iff 1 = \frac{0}{0}}
\mathbf{2 \times 0 = 0 \iff 2 = \frac{0}{0}}

Então
\mathbf{1 = \frac{0}{0} = 2}

1 = 2 não parece ser algo muito grave? Então acompanhe:

Se 1 = 2 então
1 = 2 = (1+1)
⇒ 1 = 1+1
⇒ 1-1 = 1+1-1
⇒ 0 = 1

0 = 1 ainda não parece algo muito grave? Vamos fazer só mais algumas demonstrações:

1 = (0+1) = (1+1) = 2
2 = (1+1) = (2+1) = 3
3 = (2+1) = (3+1) = 4
4 = (3+1) = (4+1) = 5
5 = (4+1) = (5+3) = 8
8 = (7+1) = (7+5) = 12
8357 = (3523+9999) = (41+1) = 42

2×2 = 4×8 = 32

3³ = 3×3×3 = 5×2×9 = 90

√2 = π

No momento que você diz que zero é igual a um, você abriu a caixa de Pandora e as portas da loucura. Agora vale tudo, qualquer número pode ser igual a qualquer número e qualquer ideia pode ser transformada em qualquer ideia, até livro pode falar e porco voar. Então não dividam por zero, o universo agradece.

PS: Estou vindo do futuro, que agora já é o passado, para avisar que apesar de a divisão por zero quebrar a álgebra com número reais, existem formas de burlar esse defeito com espaços diferentes e conceitos de divisão ligeiramente diferentes. Talvez eu escreva sobre isso no futuro (que já pode estar no passado dependendo de quando você estiver lendo isso) quando eu tiver estudado algo sobre o assunto.

Referências:

https://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero

https://www.mathsisfun.com/numbers/dividing-by-zero.html

STEWART, Ian. Almanaque das curiosidades matemáticas. Tradução de Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2009. p.94

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