O Problema de Monty Hall

Foto de capa de Irit Elazar Cohen da Quirky Creatures

Imagine que você está em um programa de auditório daqueles que fazem gincanas e desafios para dar prêmios. Você está de frente para três portas numeradas 1, 2 e 3 e o apresentador diz: “Atrás de uma dessas portas tem um carro, mas atrás de cada uma das outras duas tem um bode. Escolha uma porta e leve para casa o que tiver atrás dela”.

Portas Inicial

Você vai lá e escolhe uma das três portas, mas antes que você possa abrir, o apresentador pede para você esperar e ele mesmo abre uma outra porta mostrando um bode. E então ele te faz uma pergunta: “Você quer ficar com porta que você escolheu ou quer trocar para a outra porta fechada?”

Portas bode

O que você faz para ganhar o carro? Fica com a sua porta ou troca? Quais são as suas chances nessa situação?

A primeira vista você pode pensar: “hmm, agora eu tenho 2 portas pra escolher. Então se eu ficar com a minha porta eu tenho 50% de chance de pegar o carro, e se eu trocar, eu também tenho 50% de chance pegar o carro. Então não importa se eu troco ou não!”

Mas está errado. A resposta é que se você trocar de porta, você passa de \mathbf{\frac{1}{3}} para \mathbf{\frac{2}{3}} de chance de ganhar.

A solução é bem contra-intuitiva e é por isso que esse é um dos meus problemas favoritos que envolvem probabilidade, se não for o meu favorito. É um problema tão doido que em duas situações colegas meus quase brigaram comigo por causa da resposta.

Mas então, como que a probabilidade de ganhar trocando é \mathbf{\frac{2}{3}} ? Vou mostrar duas formas de entender o problema.

A chance do erro

Voltando para o início do problema. Três portas. Qual é a chance de você errar a porta do carro e pegar um bode? 2 bodes em 3 portas, \mathbf{\frac{2}{3}} de chance de pegar um bode.

carro bode bode

Depois de escolher a sua porta, o apresentador abre uma outra porta com um bode. E agora das duas portas restantes uma tem um carro e uma tem um bode. Resultado: se você pegou um bode inicialmente, trocando ganha o carro, e se pegou o carro inicialmente, trocando ganha um bode.

Mas qual é a chance de ganhar o bode inicialmente? \mathbf{\frac{2}{3}} . Trocando de porta ganha o carro.
E qual é a chance de ganhar o carro inicialmente? \mathbf{\frac{1}{3}} . Trocando de porta ganha um bode.

carro bode troca

bode carro troca

Esse raciocínio é mais fácil de ver usando muitas portas. Então vamos usar 10000 portas. Em 1 porta tem um carro, e nas outras 9999 tem bodes.

muitos bodes

Você escolhe uma dessas 10000 portas, o apresentador vai lá e abre outras 9998 portas com bodes e deixa só a sua e mais uma. Uma tem um bode e uma tem um carro.

muitos bodes filtrados

Você troca? Qual era a chance de ter acertado o carro em 10000 portas? \mathbf{\frac{1}{10000}} , ou 0,01%. Então a chance de ter um carro na outra porta é 99,99%. Sim, trocar é a melhor opção.

Filtragem das portas

Outra forma de entender a resposta é reconhecendo que o apresentador do programa sabe o que tem atrás de todas as portas, e quando ele remove a porta com o bode, ele está filtrando as outras escolhas tirando portas ruins.

Imagine agora que quando você escolhe uma porta, na verdade você está fazendo o apresentador escolher as outras duas. Qual é a chance de o apresentador acertar o carro quando ele escolhe duas portas? \mathbf{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}} . então ele tem bastante chance de ter o carro em uma das duas que ficaram para ele.

Agora ele vai filtrar as portas que ele pegou, tirando uma porta com um bode e potencialmente deixando uma com um carro. E ele vai deixar a porta do carro filtrada \mathbf{\frac{2}{3}} das vezes.

carro escolhe bodes X

bode esquerda X

bode direita X

Novamente, é mais fácil de ver com mais portas. Vamos usar 100 portas. Quando você escolhe uma porta, o apresentador vai olhar todas as outras e filtrar as portas que tem bodes, ele está te dizendo que olhou o que tinha atrás de cada uma das outras 99 portas e melhorou a sua escolha tirando 98 bodes, ele tirou 98 escolhas ruins e deixou a melhor das 99 portas, isso é muito trabalho e dá muita informação.

Agora o que é melhor? Ficar com a sua uma porta aleatória dentre todas as cem ou escolher a melhor dentre as outras noventa e nove?

A chave aqui é a informação. Mesmo que você tenha duas portas para escolher, você não tem 50% de chance porque cada porta tem um peso de informação por trás dela, o apresentador te deu informações.

A solução bayesiana

Tá, então você diz que entendeu a ideia por trás do problema mas você quer algo mais matematicamente concreto pra aceitar que isso funciona. Teremos que botar um pouco de teoria de probabilidade na mesa. Nós vamos usar a Lei da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes.

A Lei da Probabilidade Total diz que:

\mathbf{P(A) = \sum_{n}^{ }P(A|B_{n})P(B_{n})}

E o Teorema de Bayes é representado pela seguinte equação:

\mathbf{P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}}

P(A) é a probabilidade de A acontecer independentemente
P(B) é a probabilidade de B acontecer independentemente
P(A|B) é a probabilidade de A acontecer, considerando que B já aconteceu
P(B|A) é a probabilidade de B acontecer, considerando que A já aconteceu

P(A|B) e P(B|A) são chamadas de probabilidades condicionais.

Agora vamos resolver o problema de Monty Hall.

  • Considere que você vai sempre escolher a porta número 1 inicialmente.
  • A1 significa carro na primeira porta
  • A2 significa carro na segunda porta
  • A3 significa carro na terceira porta
  • B significa apresentador abre terceira porta

Então:

P(B|A1) = 0.5, porque se o carro estiver na primeira porta, que é a porta que você escolheu, o apresentador tem 50% de chance de abrir a terceira porta, já que as duas que você não escolheu têm bodes.

P(B|A2) = 1, porque se a porta 2 tem um carro, e você já escolheu a primeira porta que tem um bode, é certeza que o apresentador vai abrir a terceira porta que tem um bode.

P(B|A3) = 0, porque se o carro está na terceira porta, o apresentador não vai revelar o carro.

Aplicando a Lei da Probabilidade Total para achar P(B):

\mathbf{P(B) = P(B|A_{1})P(A_{1}) + P(B|A_{2})P(A_{2})+P(B|A_{3})P(A_{3}) = 0,5\cdot\frac{1}{3} + 1\cdot\frac{1}{3} + 0\cdot\frac{1}{3} = \frac{1,5}{3} = \frac{1}{2}}

E finalmente aplicando o Teorema de Bayes:

\mathbf{P(A_{1}|B)=\frac{P(B|A_{1})P(A_{1})}{P(B)} = \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}}

A equação acima diz que a probabilidade de o carro estar na primeira porta depois de o apresentador revelar a terceira porta é \mathbf{\frac{1}{3}} .

\mathbf{P(A_{2}|B)=\frac{P(B|A_{2})P(A_{2})}{P(B)} = \frac{1\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}}

Essa segunda equação diz que a probabilidade de o carro estar na segunda porta depois de o apresentador revelar a terceira porta é \mathbf{\frac{2}{3}} .

\mathbf{P(A_{3}|B)=\frac{P(B|A_{3})P(A_{3})}{P(B)} = \frac{0\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = 0}

E a última equação diz que a probabilidade de o carro estar na terceira porta depois de o apresentador revelar a terceira porta é \mathbf{0} .

Agora lembre que nas considerações iniciais para fazer as contas você sempre escolhe a porta número 1 no começo, ou seja, se você ficar com a sua escolha, a sua chance de ganhar o carro é \mathbf{\frac{1}{3}} mas se você trocar para a segunda porta, a sua chance sobe para \mathbf{\frac{2}{3}} .

Faça você mesmo

Se você ainda não aceita ou não se importa com nenhuma dessas explicações, é só fazer o teste você mesmo. Pegue três copos (ou tampinhas de garrafa iguais, ou quaisquer três objetos iguais que possam esconder outro objeto) e chame alguém para esconder um objeto debaixo de um dos copos, então escolha um dos copos e peça para a outra pessoa revelar um copo vazio, então troque a sua escolha inicial e anote o resultado. Repita umas 50 vezes, anote os resultados e faça as contas.

Ou se não quiser ter esse trabalho todo você também pode testar um simulador nessa página do site Better Explained usando quantas portas você quiser.

Referências:

http://www.montyhallproblem.com

https://betterexplained.com/articles/understanding-the-monty-hall-problem/

NETO, Joaquim. Inferência Bayesiana. Juiz de Fora:UFJF, 2010. p. 43-45

https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes’_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_probability

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