A Catenária, Gaudí e Confusões de Nomenclatura

Digamos que você precisa construir um domo de um prédio ou um arco de um grande portão gastando o mínimo de recursos, algo leve e resistente, sem ter de seguir uma estética específica. Como você vai desenhar o formato dessas estruturas?

Antoni Gaudí, arquiteto Espanhol, sabia a resposta para essa pergunta. Quando Gaudí queria desenhar uma nova estrutura de arcos ele usava correntes suspensas pelas extremidades para criar modelos experimentais e manipuláveis do seu futuro trabalho. Depois ele tirava uma foto e virava ela de cabeça pra baixo para ver a estrutura de pé ou usava um espelho no chão para ajudar a visualizar.

Catenaria (2).jpg
Maquete de correntes suspensas de Gaudí na Casa Milà

Mas por que ele fazia isso?

A resposta é que Gaudí se baseou em trabalhos de matemáticos e arquitetos que vieram antes dele. Esses cientistas descobriram que se uma corrente suspensa por dois pontos sofre apenas forças de tensão ao longo do seu corpo, então um arco com o mesmo formato dessa corrente sofrerá apenas forças de compressão. Esse formato da corrente suspensa foi batizado de Catenária, do latim Catena que significa Corrente.

Hanging_chain_and_arch
Na catenária, a tensão e a compressão seguem naturalmente o formato da estrutura

Seguindo o formato de catenária, era possível criar arcos e cúpulas bem firmes gastando pouco material e deixando a estrutura mais leve.

Catenaria (4)
Iglú Inuíte
Catenaria (5)
Clochán Irlandês
Maison_obus
Cabanas de Lama Musgum

Vários povos de épocas e lugares diferentes usaram esse formato aproximado de catenária em suas construções, como os Inuítes com seus Iglús, os antigos Irlandeses com seus Clocháns e os Musgum com suas cabanas de lama.

Não sei como esses povos chegaram nesses formatos e nem se eles planejaram o uso desse formato, mas o primeiro registro do estudo das propriedades físicas da catenária veio de Robert Hooke na década de 1670, e a equação da curva catenária veio depois com Leibniz, Christiaan Huygens e Johann Bernoulli em 1691.

A família de curvas catenárias é criada a partir do Cosseno Hiperbólico, que por sua vez é formado por duas curvas exponenciais.

coshgeral
Equação da Catenária
Catenary-pm
Catenárias com diferentes valores de a
cosh
Cosseno Hiperbólico, ou Catenária com a=1
coshcomposicao
Cosseno Hiperbólico como soma de exponenciais

Catenária? Hipérbole? Parábola?

Um problema que eu tive para conseguir referências de imagens para o texto foi que algumas estruturas em forma de catenária eram chamadas de parabólicas, e às vezes diziam que algo é uma catenária mas na verdade é uma parábola ou uma catenária achatada. Se você tentar lembrar da parábola, pode parecer que é uma catenária, mas não é.

catenary and parabola.png
Azul: Parábola; Vermelho: Catenária

Elaborando melhor a descrição inicial, a catenária representa uma corrente suspensa de densidade e espessura uniformes sustentando apenas o próprio peso e, seguindo a analogia, um arco de uma construção só tem a catenária como formato ideal se tiver densidade e espessura uniformes e estiver sustentando apenas o próprio peso.

Catenaria (6)
Os cabos da ponte Golden Gate têm formato de parábola

Essa ponte aí em cima é a Golden Gate de San Francisco. Os seus cabos podem até parecer catenárias pela explicação inicial da corrente suspensa, mas nesse caso os cabos não estão sustentando apenas o próprio peso, eles também estão sustentando o peso da ponte, e essa distribuição de peso faz com que os cabos tenham um formato de parábola.

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Esse aí é quase uma catenária, mas tem o topo achatado

Esse outro arco é o Gateway Arch de St. Louis. Ele não é exatamente uma catenária por causa de um detalhe: As suas bases são mais espessas que o seu topo. Por isso o formato do arco é uma catenária achatada, mas ainda assim não é uma parábola como alguns acham que é. É muita confusão para categorizar as coisas! Aqui tem um artigo que explica a situação.

Voltando para Gaudí

Tá, mas se a catenária só funciona direito quando não tem peso acima do arco, como que faz pra descobrir o formato correto para um arco dentro de uma construção com peso em cima?

Para resolver esse problema, Gaudí usava pequenos pesos pendurados em suas maquetes para simular o peso que a estrutura deveria suportar, o que criava uns trabalhos bem interessantes como esse aqui:

Catenaria (8)
Pequenos pesos deformando as catenárias

E o resultado de todo esse trabalho foram curvas como essas:

Gaudi-Batllo-0279ret
Casa Batlló

antoni-gaudis-sagrada-familia-church-2.jpg
Templo Expiatório da Sagrada Família

parque guell.jpg
Parque Güell

Catenaria (7)
Arcos na casa Batlló

Catenaria (1)
Casa Milà

Bônus

Procurando por referências para o texto eu encontrei essa maquete usando as técnicas de Gaudí. A maquete é de Sena Catal, que tem um blog de arquitetura bem interessante.

Catenaria (9)
O trabalho começa com os clipes pendurados de cabeça para baixo
Catenaria (10)
Os clipes são colados com fita adesiva e então a maquete é virada para ficar de pé

Referências:

OSSERMAN, Robert. Mathematics of the Gateway Arch. 2010

https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

http://mathyear2013.blogspot.com.br/2013/07/the-catenary-and-parabola.html

http://www.americanscientist.org/issues/pub/2011/3/the-perfect-dome

https://en.wikipedia.org/wiki/Clochán

https://en.wikipedia.org/wiki/Musgum_mud_huts

The enigma of Robert Hooke

http://arch-re-review.blogspot.com.br/2010/09/catenary-and-parabola.html

Isto é Matemática – T04E09 – A Catenária

https://senacatal.wordpress.com

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2 comentários em “A Catenária, Gaudí e Confusões de Nomenclatura”

  1. Ahhhhh que legal: Eu que não sou das exatas e vendo miçangas enquanto leio Cervantes achei irado o post. Muito boa relação entre teorias e a prática. As imagens inclusive ajudaram bastante a criar o panorama para diferenciarmos os exemplos. Grande Gaudí, Grande Gusta. Parabéns pela iniciativa cumpadre!!

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