A bicicleta de rodas quadradas e outros formatos de rodas

Foto de capa do National Museum of Mathematics

O que você faria se de repente tivesse em mãos uma bicicleta com rodas quadradas e você quisesse muito andar nela? Não vale mudar as rodas, nem jogar a bicicleta fora, nem comprar outra, nem pegar outra emprestada, por favor não acabe com a brincadeira. Você tem essa bicicleta com rodas quadradas e tem que de alguma forma pedalar tranquilamente em cima dela.

Compra da Bicicleta

Existe uma forma de pedalar uma bicicleta de rodas quadradas como se fosse outra bicicleta qualquer, sem precisar fazer muito esforço e sem turbulência. O segredo está na pista.

A roda redonda

Veja a nossa clássica roda redonda, ela nos serve a tanto tempo que nem pensamos mais por quê ela funciona. O círculo tem o seu centro a uma distância igual de todos os pontos da sua borda. A distância do centro à borda se chama raio e a borda se chama circunferência. Pedaços da circunferência são chamados de arco de circunferência, e cada arco corresponde a um ângulo no centro do círculo.

Rodas redondas rolantes verde 3
O tamanho do arco é o mesmo tamanho da distância percorrida enquanto o círculo rola

Quando o círculo rola um certo ângulo θ, ele percorre uma distância AB que é igual ao raio r vezes o ângulo θ em radianos. Como essa circunferência esteve em contato com o chão em todos os pontos do percurso AB sem deslizar, o arco XY correspondente ao ângulo θ também tem esse mesmo comprimento rθ, de novo θ em radianos e não em graus. E falando em radianos, veja como o significado de radiano está relacionado com o tamanho do arco e com a distância percorrida, é só considerar o raio igual a 1 na imagem acima.

Se o círculo estiver rolando em uma pista reta horizontal, não importa o quanto o círculo gire, ele sempre manterá o centro a uma mesma altura em todo o seu percurso. No caso da bicicleta, se o corpo dela é montado a partir do centro das rodas e se o centro de cada roda estiver sempre na mesma altura (não necessariamente uma na mesma altura da outra), então o corpo da bicicleta também se manterá na mesma altura em relação ao chão, fazendo com que o movimento seja suave e sem turbulências.

bicicleta horizontal.png

Se a pista for reta mas não horizontal, as duas rodas estarão em alturas diferentes mas com inclinação constante, então o movimento também será suave e sem turbulências.

bicicleta inclinada.png
A altura h é sempre constante

Agora caso a pista não seja reta, as coisas começam a complicar.

bicicleta turbulencia.png

A todo momento as duas rodas ficam mudando de altura de formas desiguais fazendo com que a bicicleta se incline em várias direções de uma forma possivelmente desconfortável.

A roda quadrada

Agora que deu pra ter uma ideia de como a roda funciona, vamos aplicar a mesma ideia para um formato diferente.

Primeiro vamos ver como um quadrado gira em uma pista reta.

quadrado girante
Metade da diagonal do quadrado é maior do que metade do lado do quadrado

De acordo com o que vimos na seção passada, para ter um passeio tranquilo a roda tem que manter o seu centro sempre à mesma altura durante todo o percurso. Nesse caso da roda quadrada em uma pista reta, a cada ângulo que ela vai rolando o seu centro fica mudando de altura causando um passeio desconfortável.

Mas e se o chão mudar de altura para compensar as diferentes alturas do quadrado que gira? É aí que está o truque.

ajuda bicicleta

Para fazer um quadrado rolar tranquilamente é só criar uma pista específica para ele. E o formato adequado da pista é o de várias catenárias (cossenos hiperbólicos) com a concavidade para baixo. Eu falei de catenárias em um outro texto que também fala sobre Gaudí, dá uma olhada lá.

Não vou entrar em muitos detalhes de como encontrar o formato da pista mas pelo menos vou dar umas ideias de como funciona a criação da pista para a roda quadrada. Quem quiser saber mais, aqui tem dois artigos que explicam como fazer.

Aqui estão alguns pontos para garantir que a roda quadrada role na pista:

1 – O centro de gravidade deve estar sempre na mesma altura, por sorte no nosso caso o centro de gravidade também é o centro geométrico.

2 – Para manter o centro do quadrado na mesma altura, a pista tem que descer nos pontos em que o quadrado está inclinado para compensar o vértice do quadrado indo mais para baixo.

3 – A roda não pode deslizar! Ela deve rolar, fazendo com que cada ponto da sua superfície toque exatamente uma vez na pista a cada ciclo. E todos os pontos do chão deve ser tocados exatamente uma vez. Para isso funcionar, os montinhos criados no ponto 2 devem ter exatamente o mesmo comprimento de cada lado da roda.

quadrado cores
Cada arco é tocado por um lado e apenas um lado

3.1 – Cada ciclo completo da roda passa por cima de uma quantidade de montinhos igual a quantidade de lados da roda. Se a roda for quadrada, um ciclo terá 4 montinhos. Se a roda for hexagonal, um ciclo terá 6 montinhos e assim por diante.

3.2 – Exemplo: Se o quadrado tiver um lado de 20 centímetros, então o arco de cada montinho catenário deve ter comprimento de 20 centímetros também, isso garante que cada milímetro do quadrado vai tocar cada milímetro do montinho e isso garante que o quadrado está rolando no chão e não deslizando.

3.3 – Exemplo: O círculo pode ser considerado tendo infinitos lados infinitamente pequenos, ou seja, pontos em vez de lados. Infinitos pontos. Os montinhos então devem ter comprimento infinitamente pequeno, os montinhos se tornam pontos também, um ponto da roda para cada ponto da pista. Quando esses pontos são colocados lado a lado a pista criada é uma reta!

transição
A medida que a quantidade de lados aumenta, os arcos da pista vão ficando menores.

4 – O ângulo formado pelo encontro dos montinhos deve ser igual ao ângulo do vértice da roda. No caso da roda quadrada, os montinhos devem se encontrar formando 90º para poder encaixar o vértice da roda enquanto ela passa de um montinho para outro.

Seguindo esses 4 pontos a pista fica assim:

Rolling-Square
Alguns acreditam que os egípcios levavam os blocos das pirâmides dessa forma

Agora é só construir uma pista com o formato encontrado e do tamanho adequado para as rodas da sua bicicleta e pedalar.

pedalando quadrado

Outros formatos de rodas além do quadrado?

ajuda bicicleta 2.png

Agora que já vimos que a partir de um tipo de roda podemos criar o chão, saiba que também dá para fazer o caminho contrário: Escolher um chão e gerar uma roda para esse chão.

Com isso dá para criar combinações bem interessantes de rodas e pistas.

Por exemplo, se você desenha um chão em forma de serra triangular, a roda gerada são pedaços de uma espiral equiangular colados juntos nessa forma de pétalas.

pista triangular
Dependendo do tamanho e da distância entre o triângulos o número de pétalas muda

Uma pista em forma de ciclóide com a concavidade para cima pode gerar uma roda em forma de trevo.

pista cicloide

Uma roda elíptica gera uma pista em forma de seno elíptico ou função elíptica Jacobiana.

pista senoidal

Curiosamente não dá para fazer uma pista para uma roda triangular, ela sempre vai bater na pista em outro ponto e travar.

ss+(2017-05-11+at+01.35.39)
O triângulo trava quando toca em dois pontos ao mesmo tempo

Então não importa o tipo de roda, você (quase) sempre vai conseguir desenhar uma pista para pedalar. O problema é pra fazer curvas, mas aí é outra discussão.

pedalando todos.png

Referências:

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_wheel

https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunferência

http://mathtourist.blogspot.com.br/2011/05/riding-on-square-wheels.html

https://mathenchant.wordpress.com/2015/07/15/the-lessons-of-a-square-wheeled-trike/

https://www.sciencenews.org/article/riding-square-wheels

ROBINSON, G. B. Rockers and Rollers. Mathematics Magazine 33, 1960. pg 139-144

HALL, L;  WAGON, S. Roads and Wheels. Mathematics Magazine 65, 1992. pg 283-301

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